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来源:网文 作者:武汉奥数网整理 2011-06-15 13:40:07
中考几何考点之三角形真题解析(奥数网整理)
08年的真题:24.(本题10分)正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F。如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
⑴如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证:DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
⑵若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立?若不成立,写出相应的结论(所写结论均不必证明)
题目解析
①按照我们的做法流程,求两条线段相等,我们就要想到利用三角形的全等,看图可以发现,EF在△EFP中,而DF则不在三角形中,所以我们就要想到做辅助线,因为PF⊥CD,PF=PF,EF=DF,那么我们就可以知道△EFP≌△DFP,所以我们想到连接DP。有了辅助线和思路,后面的解题过程就比较容易想到,要证明△EFP≌△DFP,我们只需要再找一个角相等或边相等
连接PD.∵四边形ABCD是正方形,∴AC平分∠BCD,CB=CD,
∴△BCP≌△DCP.∴∠PBC=∠PDC,PB=PD.∵PB⊥PE,∠BCD=90°,∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°(本题难点)∴∠PED=∠PBC=∠PDC.∴PD=PE.∵PF⊥CD,∴DF=EF.
②求PC、PA、CE的一个等量关系,本题我们并不知道任何一条边的长度,所以我们不能求出它们的长度来找关系,那么我们就只能利用直角三角形来求,也就是利用三角函数,而PC、CE已经在RT△CPF中,∠ACD=45o,所以我们要将PA也放到直角三角形中,而且我们肯定还需要利用到①问的结论,那么辅助线就很容易想到是做过点P作PH⊥AD于点H,有了思路和辅助线,下面就比较容易了
24题总结
这一题有一定的难度,关键在于找到思路(多是证全等或相似),找出辅助线的做法(多为平行线),然后就比较容易求解了,本题按照我给大家的流程来做同学们应该是都可以做出来的。
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