2010年北京中考数学试卷(word版本下载)(3)

　　22、阅读下列材料：

　　小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，BA=6cm.现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径总长是多少. 

　　小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形 .由轴对称的知识，发现 ， .

　　请你参考小贝的思路解决下列问题：

　　（1）P点第一次与D点重合前与边相碰_______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是_______cm；

　　（2）进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD>AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上，若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为______.

　　五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

　　23、已知反比例函数 的图象经过点A（ ，1）.

　　（1）试确定此反比例函数的解析式；

　　（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

　　（3）已知点P（ ， ）也在此反比例函数的图象上（其中 ），过P点作 轴的垂线，交 轴于点M.若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是 ，设Q点的纵坐标为 ，求 的值.

　　24、在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴的交点分别为原点O和点A，点B（2， ）在这条抛物线上.                                                                             

　　（1）求B点的坐标；

　　（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作 轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）.

　　①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

　　②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过Q点作 轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）.若P点运动到 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 的值.

　　25、问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.                                          

　　请你完成下列探究过程：

　　先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

　　（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.

　　观察图形，AB与AC的数量关系为________________；

　　当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；

　　可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.

　　（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.

相关链接： 2010年北京中考数学试卷答案

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